Mengingat Lagi Vector di Aljabar Linear

Spread the love

Dalam mempelajari quantum computing, kita akan sering mendengar berbagai istilah aljabar linear.
Yuk kali ini kita ingat-ingat lagi pelajaran aljabar linear.

1. Vector = memiliki magnitude DAN direction

misal 10km/jam saja –> speed (scalar)
misal 10km/jam DAN arah ke timur –> velocity (vector)

variabel yang merepresentasikan vector biasanya lowercase, bold atau dengan symbol panah diatas.

\displaystyle \vec{v}=(5,0)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 0 \end{array}} \right]
contoh ini maksudnya vektor yang bergerak 5 koordinat ke arah horizontal x dan 0 ke vertikal y (bayangkan xy koordinat).

contoh lain =
\displaystyle \vec{a}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3 \\ 4 \end{array}} \right]
vector ini memiliki magnitude 5 (bayangkan koordinat xy dengan panah miring 45derajat)

2. Real coordinate spaces
\displaystyle {{\mathbb{R}}^{n}}
n-dimensional real coordinate space

kita sering melihat ada notasi matematika R kapital pangkat 2 (bold, atau huruf R dengan ekstra garis / hollow R) ini maksudnya 2 dimensi real coordinate space.
\displaystyle {{\mathbb{R}}^{2}}

maksudnya adalah semua kemungkinan 2 tuple dari angka riil (tuple adalah ordered list of number).
lihat contoh 2 vektor sebelumnya, mereka adalah member dari 2 dimentional real value space R.
\displaystyle \begin{array}{l}\vec{v}\in {{\mathbb{R}}^{2}}\\\vec{a}\in {{\mathbb{R}}^{2}}\end{array}

3 Operasi tambah kurang pada vektor

Operasi penambahan pada vektor 2 dimensi sangat mudah menghitungnya, cukup jumlahkan masing-masing komponen nya, contoh:
\displaystyle \begin{array}{l}\vec{a}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\ 2 \end{array}} \right]\\\vec{b}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-4} \\ 4 \end{array}} \right]\\\vec{a}+\vec{b}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 2 \end{array}} \right]\end{array}

Operasi pengurangan juga dilakukan dengan cara yang sama.

4 Perkalian vektor dengan angka skalar

\displaystyle \begin{array}{l}\vec{a}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 1 \end{array}} \right]\\3\vec{a}=3\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 1 \end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {3.2} \\ {3.1} \end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 6 \\ 3 \end{array}} \right]\end{array}

Perkalian vektor dengan skalar cukup mudah, lihat contoh diatas.

5 Unit vectors

Unit vektor dituliskan dengan symbol huruf kecil dengan topi.

\displaystyle \begin{array}{l}\hat{i}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \end{array}} \right]\\\hat{j}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right]\\\vec{v}=2\hat{i}+3\hat{j}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 3 \end{array}} \right]\\\vec{b}=-1\hat{i}+4\hat{j}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-1} \\ 4 \end{array}} \right]\\\vec{v}+\vec{b}=\hat{i}+7\hat{j}\end{array}

Kita bisa menuliskan notasi vektor dalam representasi unit vector atau column vector seperti biasanya.

Unit vector = vektor dengan magnitude 1.
Untuk mencari/menghitung unit vector, pertama-tama kita hitung magnitude (panjang) dari vector (dengan rumus pitagoras), kemudian bagi masing2 komponen vektor dengan magnitude tsb.

\displaystyle \begin{array}{l}\vec{a}=(3,4)\\\parallel \vec{a}\parallel =\sqrt{{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=5\\\hat{u}=(\frac{3}{5},\frac{3}{5})\end{array}

6 Vector dot product dan vector length

\displaystyle \vec{a}.\vec{b}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a1} \\ {a2} \end{array}} \right].\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b1} \\ {b2} \end{array}} \right]=a1b1+a2b2
\displaystyle \vec{a}.\vec{b}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ 5 \end{array}} \right].\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 7 \\ 1 \end{array}} \right]=2.7+5.1=14+5=19

Dot produk menghasilkan angka skalar, seperti contoh diatas.
Dan length / panjang (magnitude) dari vektor bisa dilihat pada contoh berikut:

\displaystyle \parallel \vec{a}\parallel =\sqrt{{a{{1}^{2}}+a{{2}^{2}}+...+a{{n}^{2}}}}
\displaystyle \parallel \vec{a}\parallel =\sqrt{{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=5

Length juga bisa didapat dari dot produk:
\displaystyle \parallel \vec{a}\parallel =\vec{a}.\vec{a}

7 Cross product

cross produk untuk vektor 3 dimensi:
\displaystyle \begin{array}{l}\vec{a}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a1} \\ {a2} \\ {a3} \end{array}} \right]\\\vec{b}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {b1} \\ {b2} \\ {b3} \end{array}} \right]\\\vec{a}x\vec{b}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {a2b3-a3b2} \\ {a3b1-a1b3} \\ {a1b2-a2b1} \end{array}} \right]\end{array}

contoh:
\displaystyle \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {-7} \\ 1 \end{array}} \right]x\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5 \\ 2 \\ 4 \end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-7.4-1.2} \\ {1.5-1.4} \\ {1.2--7.5} \end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-30} \\ 1 \\ {37} \end{array}} \right]

vektor A, cross vektor B, akan menghasilkan vektor C yang ortogonal (tegak lurus) dengan vektor A dan B.

8 Perkalian matrix vector

Perkalian matrix M dengan dimensi mxn, dengan vektor v dengan ukuran nx1 (perhatikan n nya harus sama):

\displaystyle A\vec{x}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {-3} & 0 & 3 & 2 \end{array}} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 & 7 & {-1} & 9 \end{array}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2 \\ {-3} \\ 4 \\ {-1} \end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {-3.2+0+3.4-2.1} \\ {1.2-7.3-1.4-9.1} \end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 4 \\ {-32} \end{array}} \right]

Nggak sadar ya ternyata ada gunanya juga kita belajar aljabar linear.
Dulu waktu kuliah merasa seperti belajar ilmu yang nggak ada gunanya utk praktisi IT.
Sekarang baru sadar bahwa aljabar linear penting buat belajar quantum computing.

Tidak ada kata terlambat untuk memulai belajar aljabar linear dari nol besar.
saran saya, mulai dari nonton video di = https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra

semangat guys!

Tinggalkan Balasan

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.