Quantum Computing Theory: Aljabar Linear (Bahasa Matematika dari Quantum Computing)

Spread the love

Teori komputasi kuantum dirumuskan dalam matematika aljabar linier, menggunakan konsep-konsep seperti bilangan kompleks, vektor, dan matriks untuk menggambarkan keadaan bit kuantum.
Karena aljabar linear adalah bahasa dari quantum computing, yuk kita ingat-ingat lagi dasar-dasar nya.

1) persiapan, buka jupyter notebook:

from matplotlib import pyplot as plt
import numpy as np
from qiskit import *
from qiskit.visualization import plot_bloch_vector

2) Vectors dan Vector Spaces
https://id.wikipedia.org/wiki/Vektor_(spasial)

vektor |v> adalah elemen dari set yg disebut ruang vektor.
https://id.wikipedia.org/wiki/Ruang_vektor

Sebagai contoh, ada sebuah vektor dengan komponen x dan y dalam bentuk ( 3 5 ).
Vektor ini bisa di visualisasikan dengan sebuah panah yang mengarah pada 3 unit aksis x dan 5 unit aksis y:

plt.figure()
ax = plt.gca()
ax.quiver([3], [5], angles=’xy’, scale_units=’xy’, scale=1)
ax.set_xlim([-1, 10])
ax.set_ylim([-1, 10])
plt.draw()
plt.show()

3) State Vectors
https://en.wikipedia.org/wiki/State_vector_(navigation)

Adalah vektor yang mengarah pada titik tertentu di dalam ruang, yang berkorespondensi pada quantum state tertentu.
Hal ini bisa di visualisasikan dengan Bloch sphere.

Sebagai contoh, vektor yang merepresentasikan state pada sistem kuantum terlihat seperti anak panah, tertutup di dalam Bloch sphere, yang kemudian disebut sebagai “state space” dari semua kemungkinan titik yang bisa “ditunjuk” oleh state vectors kita:

plot_bloch_vector([1, 0, 0])

Quantum state pada gambar diatas menunjukkan superposition yang tepat di tengah-tengah antara |0> dan |1>.
Vektor bisa berotasi ke arah manapun pada permukaan bola, dimana setiap titik menunjukkan state kuantum yang berbeda.
(bandingkan dengan sistem komputer klasik, yang cuma bisa 0 atau 1 saja)

4) Matriks, Operasi Matriks dan Gerbang Kuantum

Matriks adalah objek matematika yang mengubah vektor menjadi vektor lain.
Secara umum, matriks ditulis sebagai “array” angka.
Kita dapat “menerapkan” matriks ke vektor dengan melakukan perkalian matriks.
https://id.wikipedia.org/wiki/Matriks_(matematika)#Perkalian_matriks

Untuk melakukan komputasi kuantum, kita manipulasi sebuah quantum state vector dengan menerapkan perkalian matriks pada vektor tersebut.

State vector hanyalah sebuah matriks dengan 1 KOLOM (bayangkan kalau ini matriks kolom ya!).
|0> = (1 0)
|1> = (0 1)

Kita memanipulasi qubit di komputer kuantum dengan menerapkan gerbang kuantum.
Setiap gerbang kuantum dapat dinyatakan sebagai matriks yang dapat diterapkan pada state vector, sehingga mengubah state nya.
Misalkan pada gerbang kuantum Pauli-X, yang di representasikan oleh matriks 2×2 berikut (bayangkan kalau ini matriks 2×2 ya!):
(0 1, 1 0)

Sehingga dengan operasi perkalian matriks, kita aplikasikan Pauli-X gate, pada state vector |0>, akan menghasilkan hasil state vector = |1>
(mirip seperti logika NOT)

5) Matriks Hermitian dan Unitary
https://en.wikipedia.org/wiki/Hermitian_matrix

Matriks Hermitian hanyalah sebuah matriks yang sama dengan transpose konjugatnya (dilambangkan dengan simbol t kecil).
https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_transpose

Unitary Matriks adalah matriks yang inverse dari matriks asli nya, sama dengan transpose konjugat dari matriks asli.
https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_matrix

Menghitung inverse matriks kurang begitu penting dalam komputasi kuantum.
Karena sebagian besar matriks yang kita temui adalah uniter, kita dapat mengasumsikan bahwa inverse dari matriks asli nya, cukup mengambil transpose konjugat dari matriks aslinya.

Alasan matriks uniter penting pada quantum computing akan menjadi lebih jelas di bagian pembahasan Hilbert space dan dalam mekanika kuantum.
Gagasan dasarnya adalah bahwa evolusi quantum state dengan penerapan matriks uniter “mempertahankan” quantum state nya.

Matriks uniter adalah penting dalam perhitungan kuantum karena “preserving the inner product”, yang berarti bahwa evolusi uniter mengubah state kuantum ke state kuantum lain yang valid.
Untuk ruang Hilbert single-qubit, diwakili oleh bola Bloch, transformasi uniter sesuai dengan rotasi vektor ke titik yang berbeda di permukaan bola dengan tidak mengubah panjang vektor.

6) Hilbert Spaces

Hilbert Spaces adalah salah satu konstruksi matematika terpenting dalam mekanika kuantum dan komputasi kuantum.
Perbedaan utama antara ruang Hilbert dan sembarang ruang vektor acak adalah bahwa ruang Hilbert dilengkapi dengan inner product, yang merupakan operasi yang dapat dilakukan antara dua vektor, dan mengembalikan skalar.
https://en.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space

7) Eigenvectors dan Eigenvalues
https://id.wikipedia.org/wiki/Nilai_dan_vektor_Eigen

A|v> = λ|v>
di mana A adalah matriks, dan λ adalah angka.
Jika kita diberi matriks A, dan perlu menemukan vektor |v> dan angka λ yang memenuhi hubungan ini, kita menyebut vektor-vektor ini = vektor eigen; dan angka terkaitnya = nilai eigen.

Selangkapnya baca langsung di sumber = https://qiskit.org/textbook/ch-prerequisites/linear_algebra.html

Rekomendasi buku Aljabar Linear = The manga guide to linear algebra, by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd. = https://issuu.com/wilfredopalominonoa7/docs/the_manga_guide_to_linear_algebra__

Tinggalkan Balasan

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.